Index

Vering bij een ligfiets

Onder constructie
Resonantie en verliezen
Berekening veerconstante
Voorspanning
Eigenfrequentie ongedempt
Demping
Resonantie bij hobbels in de weg
Resonantie bij trapkracht
Schatting verliezen
Theoretische berekeningen
Metingen
Conclusies
Links

E-mail: Gert van de Kraats

Onder constructie

Let op: deze pagina is slechts een poging om veergedrag te verklaren en resonantie-verliezen te bepalen en kan missers in argumentatie en berekening bevatten! Deze pagina is daarom "onder constructie".

Resonantie en verliezen

Elders is berekend hoe pogo of deining van de achtervering van een ligfiets kan worden geminimaliseerd.
Een voor de hand liggende vraag is echter, hoeveel deining er ontstaat als er niet geminimaliseerd is en hoeveel energie dit deinen eigenlijk kost.
Ook het verschijnsel, dat een ligfiets meer deint als er langzaam getrapt wordt in een hoge versnelling, dan wanneer er snel getrapt wordt in een lagere versnelling, vraagt om een verklaring.
Een fietser trapt met 60 tot 90 omwentelingen per minuut. We willen weten wat de invloed is van de trapfrequentie op deingedrag en energieverlies.

Om de berekening enigszins eenvoudig te houden, gaan we ervanuit, dat de veer verticaal gemonteerd is en en we verwaarlozen de hoek van de achtervork t.o.v de horizon.
Ook wordt er vanuit gegaan, dat energieverlies in frame en vering klein is t.o.v. het totale trapvermogen.

Er zijn bij vering 2 mogelijke veroorzakers van verliezen:

We behandelen eerst de dempingsverliezen.

Berekening veerconstante

Op Bicycle Suspension van Walter Zorn (dit Java-programma werkt alleen nog onder Windows 10 met Internet Explorer) wordt grafisch het verband weergegeven tussen veerconstante en positie van de veer op de achtervork.

De veerconstante wordt vaak opgegeven in lbs/inch, omgerekend naar de metrische maat Newton/meter:
1 inch = 2.54 cm.,
1 lbs = 4.45 N,
totale omrekeningsfactor: 4.45 * 100 / 2.54.

Bij de berekening is van belang, hoeveel procent van het totale gewicht op het achterwiel drukt. De positie van de veer op de achtervork bepaalt de factor waarmee de kracht ten gevolge van het totale gewicht moet worden vermenigvuldigd om de kracht op de veer te berekenen. De veerconstante van de veer moet nu zo groot gekozen worden, dat de veer 20 tot 30% van de maximale uitslag wordt ingedrukt, als de berijder op de fiets zit. Deze instelling zorgt ervoor, dat 80 tot 70% van de veeruitslag kan worden gebruikt voor plotseling indrukken van de veer (een hobbel), en 20 tot 30% voor uitdrukken (een gat).
Dit is een logische keuze. Als een wiel niet onder in een diep gat wordt gedrukt, betekent dit alleen maar, dat het wiel zal doorslaan bij een trapbeweging. Als daarentegen de maximale veeruitslag te klein is om een grote hobbel te volgen krijgen fiets en berijder een forse klap en worden gelanceerd.

Formules:
De zwaartekracht op de achteras:
Fa = m * 9.8 * Lcg / Lwb
   = m * 9.8 * perca / 100
waarin Lcg de afstand van het zwaartepunt tot de vooras is en Lwb de lengte van de wielbasis.

De kracht op de veer:
Fv = Fa * La / Lv
waarin La de lengte van de achtervork en Lv de afstand van de veer tot het scharnierpunt.

De veerconstante:
k = Fv * 100 / (xv * percv)
waarin xv de maximale uitslag van het veerelement is en percv het percentage van de veerweg, dat het veerelement bij belasting wordt ingedrukt.

Berekening Veerconstante
Totale Massa (m) in kg. Percentage Massa Achterwiel (perca )
Lengte Achtervork (La ) in mm. Positie Veer op Achtervork (Lv ) in mm.
Percentage invering door gewicht (percv ) Maximale veerweg (xv ) in mm.
Max. INvering achterwiel in mm. Max. UITvering achterwiel in mm.
Veerconstante in lbs/inch. Veerconstante (k) in N/m.
Eigenfrequentie in 1/sec. Resonantie bij trap omw./min.

Merkwaardig is, dat de maximale veerweg en de demping van een veerelement vaak niet in de specificaties terug te vinden zijn.

Voorspanning

Veerelementen zijn voorzien van de mogelijkheid om "voorspanning" ("preload") op de veer te zetten.
Hiermee wordt bereikt, dat het veerelement minder ver wordt ingedrukt ("sag") als de berijder op de fiets gaat zitten.
Een veel gebruikte instelling is 30% sag, waarbij het veerelement 30% wordt ingedrukt, als de berijder op de fiets gaat zittten.
De "voorspanning" zorgt ervoor, dat de inverende veerweg wordt vergroot ten koste van de uitverende veerweg. Hiermee kan een te slappe veer of een zwaar beladen fiets worden gecorrigeerd.
Op de andere eigenschappen zoals demping en resonantie heeft dit echter geen invloed.

Eigenfrequentie ongedempt

Guus van de Beek laat in Ligfiets& 2003-1 zien, dat de veeruitslag van de achterveer niet alleen afhangt van de kracht, maar ook van de snelheid, waarmee de kracht toe/afneemt, oftewel van de frequentie van de kracht.
Van belang hierbij is het begrip eigenfrequentie. Als een ongedempte veer met daaraan een gewicht eenmalig wordt ingedrukt, zal het gewicht heel lang na blijven deinen (vrije trilling) met een frequentie, die afhangt van de massa en van de stijfheid van de veer. Deze frequentie wordt de eigenfrequentie genoemd.

Het veersysteem van een ligfiets functioneert pas goed, als de frequentie van de oneffenheden en bijbehorende krachten ruim boven de eigenfrequentie liggen. Als de frequentie gelijk is aan de eigenfrequentie, functioneert het veersysteem slecht. Er treedt resonantie op, wat leidt tot grote veeruitslagen en een hevig deinende fiets.
Dit verschijnsel wordt voor een algemeen massaveersysteem grafisch weergegeven op Forced oscillations (resonance) van Walter Fendt.

De eigenhoekfrequentie ω0 (in radialen/seconde) van een massaveersysteem wordt bepaald via de formule:
ω0 = sqrt(k / m).
Hierin is k de veerconstante en m de massa.

Een probleem is, dat massa en veer niet rechtstreeks aan elkaar zijn gekoppeld, maar via een dubbele hefboomconstructie. Het frame en de berijder "scharnieren" om de vooras; achtervork en achterwiel "scharnieren" om het ophangpunt van de achtervork aan het frame.
Om een berekening te maken vervangen we de "echte" veer door een "imaginaire" veer, die direct op het zwaartepunt wordt gepositioneerd. Deze imaginaire veer moet dezelfde veereigenschappen aan de ligfiets geven, als de echte veer.
Van belang hierbij is de "leverage ratio" LR; dit is de verhouding tussen de lengte verandering van de veer en de hoogteverandering van het zwaartepunt.
De verhouding tussen de echte veerconstante en de imaginaire veerconstante wordt bepaald door de formule:
k / ki = LR2 .
We bepalen LR in 2 stappen. We verplaatsen eerst de veer naar de achteras en vervolgens van de achteras naar het zwaartepuntde veer.

Als we de veer naar de achtervork verplaatsen neemt de lengte verandering van de veer recht evenredig toe met de lengte van de achtervork. Voor deze leverage ratio geldt:
LRa = La / Lv .

Bij de berekening gaan we er vanuit dat de totale massa van ligfiets en fietser zich op het zwaartepunt bevindt. Het zwaartepunt bevindt zich bij een hogeligger midden tussen voor- en achterwiel. Bij een verende achtervork scharniert dit zwaartepunt om het voorwiel. Als de veer wordt verplaatst naar het zwaartepunt betekent dit, dat de uitslag, die de veer moet maken rechtevenredig afneemt met de afstand tot de vooras. Voor deze leverage ratio geldt:
LRcg = Lcg / Llwb .
Omdat de verhouding tussen de positie van het zwaartepunt en de totale wielbasis samen hangt met het percentage van het gewicht, dat op het achterwiel drukt, kan dit ook worden geschreven als:
LRcg = perca / 100.

Voor de totale leverage ratio geldt: LR = LRa * LRcg = (La / Lv) * (perca / 100) .

De eigenhoekfrequentie van imaginaire veer met ligfiets en berijder is nu:
ω0 = (sqrt(ki / m)).
Na invulling van ki = k / LR2 leidt dit tot:
ω0 = (sqrt(k / m) * (Lv / La) * (100 / perca).
De eigenfrequentie wordt bepaald, door deze hoekfrequentie nog te delen door 2π.
Het aantal trapomwentelingen/minuut wordt bepaald door met 30 te vermenigvuldigen (bij iedere trapomwenteling wordt 2 keer kracht gezet).

Demping

Om resonantie of langdurig nadeinen van de veer bij een oneffenheid in de weg tegen te gaan, wordt een veer voorzien van demping. Hoewel de demping van een veer zeer belangrijk is voor de veereigenschappen, wordt om onduidelijke redenen de dempingsfactor (vrijwel) nooit vermeld!?
Ook voor de definitie van demping worden verschillende namen en symbolen gebruikt. Er wordt gesproken van "damping constant" b, van "dempingfactor" Γ (=b/m), van "dempingsconstante" λ (=b) of van "dempingsgetal" γ (=b/2m). Hier wordt de "dempingsconstante" b gebruikt en geldt voor de demping de formule:
dempingskracht = b * snelheid (van veerbeweging).

Een gedempte veer met daaraan een gewicht zal, na eenmalig indrukken, nadeinen, maar de veeruitslag zal ten gevolge van de demping snel afnemen. Voor de hoekfrequentie van de gedempte vrije trilling geldt de formule:

ω1 = sqrt(ω02  - b2/4m2)),

zie vrije trillingen (van NIKHEF).

De hoekfrequentie van een gedempte vrije trilling is lager dan van een ongedempte. De hoekfrequentie neemt af als de demping toeneemt.
Bij b = sqrt (4 * k * m) is de hoekfrequentie 0. Dit wordt kritische demping genoemd. Bij grotere demping deint de veer niet meer, maar gaat langzaam terug naar de evenwichtspositie.
In de praktijk betekent dit, dat na een hobbel het wiel niet meer door de veer teruggedrukt kan worden, zodat het wiel zal loskomen van de weg.
Voor een goedwerkend veersysteem moet de demping kleiner zijn dan de kritische demping. Zo'n veersysteem wordt 'zwakgedempt' genoemd. Voor de demping moet gelden:

b < sqrt (4 * k * m)     .

De verhouding tussen de dempingsconstante van de echte veer en de imaginaire veer bij het zwaartepunt wordt bepaald door dezelfde formule als bij de veerconstante:
b / bi = LR2 .

Resonantie bij hobbels in de weg

Om de effecten van een hobbelige weg op het veergedrag te bekijken, wordt de massaloze kant van de veer via een gedwongen trilling op en neer bewogen (door hobbels en gaten in de weg). Deze gedwongen trilling geven we weer met een cosinus-functie:

A(t) = A0 * cos(ωdt)

waarin ωd de hoekfrequentie van de hobbel-beweging weergeeft en A0 de maximale grootte van de hobbel.
Voor de veeruitslag levert dit de volgende formule op:

x(t) = (A0 * k / m) * cos(ωdt +δ) / sqrt(b2ωd2/m2 + (ω02d2)2 )

waarin b de dempingsconstante van de veer weergeeft,
en δ de fase-verschuiving.
De veeruitslag is maximaal bij de resonantiehoekfrequentie:

ωR = sqrt(ω02  - b2/2m2)).

Deze formule is afgeleid van formules op Forced oscillations (resonance) van Walter Fendt en op HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN van UTwente.

We veronderstellen het veergedrag van veer en demper optimaal, als de veer-uitslag bij de resonantiefrequentie niet groter is dan 2 keer de uitslag bij een zeer lage frequentie (3 dB-demping).
Voor b moet dan gelden:

b = sqrt ((1 / 4) * k * m)     .

Resonantie bij trapkracht

Ook hier is sprake van een gedwongen trilling. Niet door hoogteverschillen, maar door een varierende kracht. De veer van een ligfiets is voorzien van een demper en gedraagt zich, indien de veer-eigenschappen goed gekozen zijn, als een "zwakgedempt" veersysteem.

De (pogo-)kracht van de trappende fietser benaderen we (zeer grof) door een cosinus-functie:

F(t) = F0 * cos(ωdt)

waarin ωd de verdubbelde waarde van de hoekfrequentie van de trap-beweging heeft en F0 gelijk gesteld wordt aan het pogo-percentage van de gemiddelde trapkracht. De verdubbeling van ωd wordt veroorzaakt door het feit, dat per rondgaande trap-beweging 2 keer kracht gezet wordt.
Voor de veeruitslag levert dit de volgende formule op:

x(t) = (F0/m) * cos(ωdt +δ) / sqrt(b2ωd2/m2 + (ω02d2)2 )

waarin b de dempingsconstante van de veer weergeeft,
en δ de fase-verschuiving.

Let op, bij deze formule wordt er vanuitgegaan, dat de kracht aangrijpt op de massa. Het elders berekende pogo-percentage gaat uit van een kracht ter hoogte van de achteras. Dientengevolge moet de pogo-kracht met een factor Llwb / Lcg worden vermenigvuldigd, om F0 te berekenen.

Ook in dit geval is de veeruitslag maximaal bij de resonantiehoekfrequentie:

ωR = sqrt(ω02  - b2/2m2)),    waarbij de demping b moet voldoen aan de voorwaarde:
b <= sqrt (2 * k * m)     .

Deze formule is te vinden op deze site; zie ook grafieken, formules en afleidingen (van NIKHEF) over vrije en gedwongen trillingen.
De resonantiefrequentie bij trapkracht is lager dan de eigenfrequentie en is afhankelijk van de demping. Bij een grotere demping wordt de resonantiefrequentie lager, maar neemt ook de maximale veeruitslag bij die frequentie af.

Als de demping groter wordt gekozen dan sqrt (2 * k * m), (maar kleiner dan sqrt (4 * k * m), dus nog steeds 'zwakgedempt'), dan is de veeruitslag maximaal bij trapfrequentie 0 en neemt de veeruitslag bij grotere frequentie alleen maar af.

Voor het gemiddelde geleverde vermogen geldt de formule:
P = (F02/2b) * (b2ωd2/m2) / ((b2ωd2/m2) + (ω02d2)2)

Makkelijk is te zien, dat volgens deze formule bij ωd = ω0 het grootste vermogen aan de demper wordt geleverd:
P = F02/2b met een veeruitslag:
xm = F0/(bω0)
Dit komt overeen met het algemene verband tussen vermogen en veeruitslag bij een bepaalde hoekfrequentie:
P = b ωd2xm2 / 2

Schatting verliezen

Voor een rekenmodel zie Schatting verliezen, waar de invloed van verschillende ligfiets-parameters op de dempingsverliezen wordt berekend.
De gebruikte parameters zijn gebaseerd op de Nazca Pioneer.
De voorgestelde dempingsconstante gaat uit van een '3 dB zwakgedempt' systeem en wordt berekend met de formule:
b = sqrt ((1 / 4) * k * m)   .
In het lege invulvak kan men zelf een dempingsconstante (b) opgeven, die dan de voorgstelde dempingsconstante bij de berekening vervangt.
Op basis van opgegeven Trapfrequentie en TrapVermogen wordt de trapkracht en de pogokracht berekend. De grafiek toont als functie van de trapfrequentie de uitwijking en het vermogensverlies bij deze berekende trapkracht en pogokracht.
Het geleverde Trapvermogen neemt lineair toe met de trapfrequentie en is in de grafiek alleen bij de opgegeven Trapfrequentie gelijk aan het opgegeven TrapVermogen!

Theoretische berekeningen

Er zijn vrij weinig publicatie's bekend, waarin een poging wordt gedaan om veringverliezen ten gevolge van pogo te berekenen. De eerste publicatie's verschijnen pas bij de opkomst van mountainbikes met voor- en achter-wielvering.
Eric L. Wang en M. L. Hull publiceren in 1996 A Model for Determining Rider Induced Energy Losses in Bicycle Suspension Systems en in 1997 Minimization of Pedaling Induced Energy Losses in Off-road Bicycle Rear Suspension Systems . De verliezen worden hier berekend met behulp van een simulatie op een denkbeeldige bukfiets, waarbij men de hoogte van het scharnierpunt kan varieren. De fiets wordt in de simulatie aangedreven door trapkracht, die op een vergelijkbare, maar ongeveerde fiets is gemeten.
De simulatie-fiets rijdt op een lopende band met hellingshoek 6%, waardoor pogo-effecten t.b.v. squat op zullen treden.
Bij een commerciele fiets bedragen de verliezen in de vering 6.9 Watt bij een trapvermogen van 531 Watt (1.3%). Bij een optimale hoogte van het scharnierpunt van de achtervork zijn de berekende verliezen slechts 1.2 Watt (0.2%).
Niet duidelijk is, hoe men deze verliezen heeft berekend. Het lijkt er op, dat men alleen de verliezen in het veer-element heeft meegerekend, die zijn veroorzaakt door de de demper en door wrijving.
Opmerkelijk is, dat de berekende optimale hoogte van het scharnierpunt ruim boven de kettinglijn ligt (factor 2 t.o.v. het gebruikte voor-kettingwiel). Dit is in tegenspraak met het model op deze website.
De meetfiets, die voor verificatie van de simulatie-resultaten is gebruikt, wordt beschreven in An Off-Road Bicycle With Adjustable Suspension Kinematics. De resultaten van de metingen op deze meetfiets laten een veel lager optimaal scharnierpunt zien, dat nog steeds iets boven de kettinglijn ligt.

Metingen

Ari Karchin and M. L. Hull publiceren in 2002 metingen in Experimental Optimization of Pivot Point Height for Swing-Arm Type Rear Suspensions in Off-Road Bicycles van verliezen bij verschillende hoogtes van het scharnierpunt van de achtervork.
Bij deze metingen ligt het optimale scharniierpunt voor de zittende fietser iets boven de kettinglijn, het optimale scharnierpunt voor de staande fietser ligt onder de kettinglijn, zoals in het simulatie-model van deze website (zie model mountainbike Giant Reign).
Ook hier is onduidelijk, hoe de verliezen worden bepaald.
De gemeten verliezen zijn veel groter, dan de verliezen, zoals berekend op deze pagina.

Conclusies

Een goed veersysteem zorgt voor een eigenfrequentie, die ruim boven de optimale trapfrequentie van 90 omwentelingen/minuut ligt.

Een slappere veer (met een kleinere veerconstante) resulteert in meer deining en een toename van het dempingsverlies; het maximale dempingsverlies (bij de lagere resonantiefrequentie) neemt echter niet toe.

Het vermogensverlies door deining is evenredig met het kwadraat van de kracht en is omgekeerd evenredig met de dempingsconstante. Een keuze voor een grotere demping zorgt dus voor een afname van het vermogensverlies, (maar voor slechtere veer-eigensachappen).

Bij geringe demping is de veeruitslag het grootst bij de resonantiefrequentie. Bij grotere demping neemt de maximale veeruitslag af en treedt deze ook op bij een lagere trapfrequentie.
Het grootste vermogensverlies ten gevolge van trapkracht treedt niet op bij de grootste veeruitslag, maar treedt op bij de eigenfrequentie.

Gezien het belang van de dempingscontstante en ook van de effectieve veerweg voor het gedrag van een veerelement, is het merkwaardig, dat deze kenmerken door fabrikanten (vrijwel) nooit bij de specificaties worden vermeld.

In de praktijk zullen de pogo-verliezen groter zijn dan hier berekend, omdat de trapkracht niet keurig volgens een cosinus-functie verloopt.
Desalniettemin kunnen we vaststellen, dat bij een goed gedimensioneerd veersysteem en een goede kettinglijn de pogo-verliezen verwaarloosbaar zijn.

Links

The effects of suspension on the energetics and mechanics of riding bicycles on smooth uphill surfaces, by Asher H. Straw, 2017.

A Three-Dimensional Multibody Model of a Full Suspension Mountain Bike, by Burkhard Corves , J. Breuer, Frederic Schöler, P. Ingenlath, 2015.

Bicycle Shock Absorption Systems and Energy Expended by the Cyclist, by Henri Nielens and Thierry Lejeune, 2004.

A Multibody Model for the Simulation of Bicycle Suspension Systems, by MATTHIAS WAECHTER, FALK RIESS and NORBERT ZACHARIAS, 2002.

Experimental Optimization of Pivot Point Height for Swing-Arm Type Rear Suspensions in Off-Road Bicycles , by Ari Karchin and M. L. Hull, 2002.

Minimization of Pedaling Induced Energy Losses in Off-road Bicycle Rear Suspension Systems , by Eric L. Wang and M. L. Hull, 1997.

An Off-Road Bicycle With Adjustable Suspension Kinematics , by S. A. Needle and M. L. Hull, 1997.

A Model for Determining Rider Induced Energy Losses in Bicycle Suspension Systems , by Eric L. Wang and M. L. Hull, 1996.